Resolução da Lista 4 - Espaço Vetorial
Questão 1
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R³? Justifique.
| **(a) W = {(x, y, z) em R³ | x - 3z = 0}** |
| **(b) W = {(x, y, z) em R³ | x em Z}** |
| **(c) W = {(x, y, z) em R³ | x >= 0}** |
Resolução:
Para ser um subespaço vetorial, um conjunto deve satisfazer três condições:
- Deve conter o vetor nulo.
- Deve ser fechado sob adição.
- Deve ser fechado sob multiplicação escalar.
| **(a) W = {(x, y, z) em R³ | x - 3z = 0}** |
Este conjunto contém todos os vetores de R³ que satisfazem a equação x - 3z = 0. Podemos reescrever como x = 3z. Qualquer adição de dois vetores em W também satisfará esta equação, assim como a multiplicação por um escalar. Portanto, W é um subespaço de R³.
| **(b) W = {(x, y, z) em R³ | x em Z}** |
Este conjunto inclui vetores em que a primeira coordenada x é um número inteiro. No entanto, a multiplicação de um vetor em W por um escalar real não garante que x continue sendo um número inteiro. Por exemplo, se multiplicarmos (1, 0, 0) por 0.5, obteremos (0.5, 0, 0), que não pertence a W. Portanto, W não é um subespaço vetorial.
| **(c) W = {(x, y, z) em R³ | x >= 0}** |
Este conjunto não é fechado sob multiplicação escalar. Por exemplo, se considerarmos o vetor (1, 0, 0) em W e o multiplicarmos por -1, obteremos (-1, 0, 0), que não está em W porque a primeira coordenada é negativa. Portanto, W não é um subespaço vetorial.
Conclusão da Questão 1: Apenas o conjunto (a) é um subespaço vetorial de R³.
Questão 2
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M(2, 2)? Justifique.
| **(a) W = {[a b; c d] em M(2, 2) | a = c e b + d = 0}** |
| **(b) W = {[a b; c d] em M(2, 2) | a + d <= b + c}** |
| **(c) W = {A em M(2, 2) | A = A^T}** |
Resolução:
(a) Para verificar se o conjunto dado é um subespaço, precisamos checar as três condições mencionadas anteriormente.
- Contém o vetor nulo: Se a = c = 0 e b + d = 0, então temos a matriz nula.
- Fechamento sob adição: Se A1 = [a1 b1; a1 d1] e A2 = [a2 b2; a2 d2] estão em W, então a1 + a2 = c1 + c2 e (b1 + b2) + (d1 + d2) = 0. Portanto, A1 + A2 está em W.
- Fechamento sob multiplicação escalar: Para um escalar k e uma matriz A = [a b; a d] em W, kA = [ka kb; ka kd], e como ka = kc e kb + kd = k(b + d) = 0, kA também está em W.
Portanto, o conjunto (a) é um subespaço de M(2,2).
(b) Este conjunto não é um subespaço vetorial porque a condição a + d <= b + c não é fechada sob adição ou multiplicação escalar.
Geralmente, quando uma das condições de existência do conjunto é uma inequação, então este conjunto não será subespaço.
Pois a inequação, quando multiplicada por um escalar real negativo, terá seu sinal invertido.
(c) O conjunto de todas as matrizes simétricas (onde A = A^T) é um subespaço de M(2, 2). Para duas matrizes A, B em W, temos que A + B é simétrica e kA é simétrica para qualquer escalar k.
Conclusão da Questão 2: Apenas os conjuntos (a) e (c) são subespaços vetoriais de M(2, 2).
Questão 3
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P2? Justifique.
P2 é o conjunto formado por todos os polinômios de grau igual ou menor que 2.
| **(a) W = {p(t) em P2 | p(0) = 0}** |
| **(b) W = {p(t) em P2 | p(0) = 2p(1)}** |
| **(c) W = {p(t) em P2 | p(t) + p’(t) = 0}** |
Resolução:
| **(a) W = {p(t) em P2 | p(0) = 0}** |
Este conjunto consiste de todos os polinômios de grau no máximo 2 que passam pela origem (0,0). Isto é um subespaço porque a soma de dois polinômios que satisfazem p(0) = 0 também satisfaz essa condição, e a multiplicação por um escalar também não altera o fato de que p(0) = 0.
| **(b) W = {p(t) em P2 | p(0) = 2p(1)}** |
Este conjunto é um subespaço vetorial, pois a condição p(0) = 2p(1) é preservada pela adição ou multiplicação por escalar.
| **(c) W = {p(t) em P2 | p(t) + p’(t) = 0}** |
Este conjunto é um subespaço, pois qualquer combinação linear de polinômios cuja derivada é o negativo do próprio polinômio também satisfará essa condição. Além disso, a multiplicação por um escalar não altera a condição.
Conclusão da Questão 3: Todos os conjuntos (a), (b) e (c) são subespaços vetoriais de P2.
Questão 4
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R⁴? Justifique.
| **(a) W = {(x, y, z, t) em R⁴ | x + y = 0 e z - t = 0}** |
| **(b) W = {(x, y, z, t) em R⁴ | 2x + y - t = 0 e z = 0}** |
| **(c) W = {(x, y, z, t) em R⁴ | x - y - z + t = 0}** |
Resolução:
Para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer as três condições mencionadas anteriormente: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.
| **(a) Para W = {(x, y, z, t) em R⁴ | x + y = 0 e z - t = 0}** |
- Contém o vetor nulo: Se x = y = 0 e z = t = 0, então o vetor nulo (0, 0, 0, 0) está em W.
- Fechamento sob adição: Se (x1, y1, z1, t1) e (x2, y2, z2, t2) estão em W, então (x1 + y1 = 0) e (x2 + y2 = 0), bem como (z1 - t1 = 0) e (z2 - t2 = 0). Portanto, (x1 + x2) + (y1 + y2) = 0 e (z1 + z2) - (t1 + t2) = 0, o que implica que (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) está em W.
- Fechamento sob multiplicação escalar: Para qualquer escalar k e vetor (x, y, z, t) em W, k(x + y) = 0 e k(z - t) = 0. Portanto, k(x, y, z, t) está em W.
Logo, W é um subespaço vetorial de R⁴.
| **(b) Para W = {(x, y, z, t) em R⁴ | 2x + y - t = 0 e z = 0}** |
- Contém o vetor nulo: Se x = y = z = t = 0, então o vetor nulo (0, 0, 0, 0) está em W.
- Fechamento sob adição: Similar ao anterior, se (x1, y1, 0, t1) e (x2, y2, 0, t2) estão em W, então 2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (t1 + t2) = 0 e 0 + 0 = 0, o que é satisfeito.
- Fechamento sob multiplicação escalar: Para qualquer escalar k, o fechamento escalar será garantido.
Logo, W é um subespaço vetorial de R⁴.
| **(c) Para W = {(x, y, z, t) em R⁴ | x - y - z + t = 0}** |
- Contém o vetor nulo: Se x = y = z = t = 0, então o vetor nulo (0, 0, 0, 0) está em W.
- Fechamento sob adição: Se (x1, y1, z1, t1) e (x2, y2, z2, t2) estão em W, então (x1 - y1 - z1 + t1) + (x2 - y2 - z2 + t2) = 0, o que é satisfeito.
- Fechamento sob multiplicação escalar: Para qualquer escalar k, o vetor resultante também satisfaz a condição de W.
Logo, W é um subespaço vetorial de R⁴.
Conclusão da Questão 4: Todos os conjuntos (a), (b) e (c) são subespaços vetoriais de R⁴.
Questão 5
Expresse o vetor (1, -3, 10) em R³ como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w = (2, -3, 5).
Resolução:
Devemos encontrar escalares a, b, c tais que:
a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(2, -3, 5) = (1, -3, 10)
Sistema de equações:
- a + b + 2c = 1
- b - 3c = -3
- 5c = 10
Resolvendo:
- c = 2
- b - 3(2) = -3 => b = 3
- a + 3 + 2(2) = 1 => a = -6
Portanto, (1, -3, 10) = -6u + 3v + 2w.
Conclusão da Questão 5: (1, -3, 10) = -6u + 3v + 2w.
Questão 6
Considere os vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1) de R³.
(a) Escreva u = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2.
(b) Mostre que v = (4, 3, -6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2.
(c) Determine uma condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos vetores v1 e v2.
Resolução:
(a) Para u = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1):
a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1) = (-4, -18, 7)
Sistema:
- a + 2b = -4
- -3a + 4b = -18
- 2a - b = 7
Resolvendo:
- Da (3), b = 2a - 7
- Substituindo na (1): a + 2(2a - 7) = -4 => 5a = 10 => a = 2
- b = 2(2) - 7 = -3
Portanto, u = 2v1 - 3v2.
(b) Para v ser combinação linear de v1 e v2, o sistema é:
- a + 2b = 4
- -3a + 4b = 3
- 2a - b = -6
Sistema inconsistente (contradição). Logo, v não é combinação linear de v1 e v2.
(c) O sistema linear deve ser resolvido em termos de a e b para encontrar uma relação entre x, y, z que satisfaça as combinações lineares.
Uma solução seria: x − y − 2z = 0
Questão 7
Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = (0, -2, 2) e v = (1, 3, -1)?
(a) (2, 2, 2)
(b) (3, 1, 5)
(c) (0, 4, 5)
(d) (0, 0, 0)
Resolução:
Para verificar se um vetor é combinação linear de u e v, devemos resolver o sistema linear:
a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1) = (x, y, z)
Para cada vetor:
(a) Resolver para (2, 2, 2): a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1) = (2, 2, 2)
(b) Resolver para (3, 1, 5): a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1) = (3, 1, 5)
(c) Resolver para (0, 4, 5): a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1) = (0, 4, 5)
(d) Resolver para (0, 0, 0): a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1) = (0, 0, 0)
Conclusão da Questão 7: Apenas os vetores (a), (b) e (d) são combinações lineares de u e v.
O sistema da letra c) será impossível. Lembre que um sistema impossível, o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da ampliada.
Questão 8
Seja S o subespaço vetorial de P2 gerado pelos vetores t, 1 - t, e 4 + t². O vetor p(t) = 3 + 4t + 10t² pertence a S? Justifique.
Resolução:
Para que p(t) pertença a S, devemos ter:
p(t) = a(t) + b(1 - t) + c(4 + t²)
(3 + 4t + 10t²) = a(t) + b(1 - t) + c(4 + t²)
Sistema de equações:
- -b + 4c = 3
- a - b = 4
- c = 10
Encontrando a, b, e c, podemos verificar que p(t) pode ser escrito como combinação linear dos vetores em S.
Basta ver que o sistema de equações é possível.
Conclusão da Questão 8: Sim, p(t) pertence a S.
Questão 9
Seja P2 o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que {1 + t, 1 - t, t²} é base de P2.
(b) Escreva p(t) = 2 - t + 3t² como combinação linear dos vetores 1 + t, 1 - t, e t².
Resolução:
(a) Para mostrar que o conjunto é uma base, precisamos verificar que é linearmente independente e que gera P2.
Existe um teorema na Álgebra Linear que diz que:
Se um conjunto tem a mesma quantidade de elementos que a dimensão do espaço e este conjunto é Li, então o conjunto é base do espaço.
Todo espaço Pn tem dimensão (n+1), logo P2 tem dimensão 3. Assim, o conjunto {1+t, 1-t, t²}, por ter 3 elementos, basta ser Li para ser base de P2.
Comprove que o conjunto dado é Li e saberemos que ele é uma base de P2.
(b) Precisamos resolver o sistema:
a(1 + t) + b(1 - t) + c(t²) = 2 - t + 3t²
Sistema:
- a + b = 2
- a - b = -1
- c = 3
Resolva para encontrar a, b e c.
Conclusão da Questão 9: (a) O conjunto é uma base de P2; (b) p(t) pode ser escrito como combinação linear.
Questão 10
Quais dos conjuntos abaixo são linearmente independentes (LI)? Justifique.
(a) {(1, 2), (2, -1)} em R².
(b) {(1, 1, 0), (1, -1, 1)} em R³.
(c) {[1 1; 0 -1], [1 -1; 1 0], [1 0; 3 2]} em M(2, 2).
(d) {[1 -1; 3 3], [-1 3; 1 5], [2 -3; 4 2]} em M(2, 2).
(e) {t + 1, t - 1} em P1.
(f) {t + 1, 1 + t², 1 - t + t²} em P2.
Resolução:
Para verificar a independência linear, montamos a matriz associada e verificamos se a única solução é a trivial (coeficientes nulos).
Se o conjunto tiver só 2 elementos, basta provar que eles não são múltiplos um do outro.
Se o número de elementos do conjunto for maior que a dimensão do espaço, então o conjunto será LD.
Se o conjunto incluir o vetor nulo, então o conjunto será LD.
Se dois vetores do conjunto forem múltiplos um do outro, então o conjunto será LD.
Conclusão da Questão 10: (a), (b), (c), (e), (f) são linearmente independentes, (d) é linearmente dependente.
Questão 11
Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(a) {(1, 0, 2), (1, 1, 2), (1, 1, 4)} em R³.
(b) {(2, 1, -1), (1, 0, -1), (1, 1, 0)} em R³.
(c) {[1 0; 0 1], [0 1; 1 0], [1 1; 0 1], [1 0; 1 1]} em M(2, 2).
(d) {[1 0; 0 1], [0 -1; 1 0], [1 1; 1 -1], [2 1; 1 0]} em M(2, 2).
(e) {t, 1 + t, t - t²} em P2.
(f) {1, 2 - t, 3 - t², t + 2t²} em P2.
Resolução:
Para ser uma base de um espaço vetorial, um conjunto deve ser linearmente independente (LI) e deve gerar o espaço vetorial.
Existe um teorema na Álgebra Linear que diz que:
Se um conjunto tem a mesma quantidade de elementos que a dimensão do espaço e este conjunto é Li, então o conjunto é base do espaço.
Resposta da Questão 11: Os conjuntos que são bases são (a) e (e).
Questão 12
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
| **(a) W = {[a b; c d] em M(2, 2) | a, b, c e d em R com b = c + 1} é um subespaço vetorial do espaço M(2, 2) das matrizes reais dois por dois.** |
(b) R² = [(1, 1), (1, -1), (0, 1)].
(c) (1, 0, 0) em [(1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 0, -1)].
(d) O conjunto {(1, -1, 2), (-1, 1, 1), (0, 0, 1)} forma uma base para R³.
Resolução:
Conclusão da Questão 12: (a) F, (b) V, (c) V, (d) F.
Questão 13
Determine o(s) valor(es) de k em R de modo que:
(a) O vetor u = (-1, k, -7) seja combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).
(b) O conjunto {(1, 0, k), (1, 1, k), (1, 1, k²)} seja uma base de R³.
(c) O conjunto {(1, 0, -1), (1, 1, 0), (k, 1, -1)} seja LI em R³.
Resolução:
(a) Resolver o sistema para encontrar o valor de k que permite que u seja uma combinação linear de v1 e v2. O sistema é consistente para k = 13.
(b) O conjunto é uma base se e somente se for linearmente independente. Para ser linearmente independente, k não pode ser 0 ou 1.
(c) O conjunto é linearmente independente se o determinante da matriz formada pelos vetores for diferente de zero. Isso ocorre para todos os k diferentes de 2.
Conclusão da Questão 13: (a) k = 13, (b) k != 0, k != 1, (c) k != 2.
Questão 14
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a) O vetor v = (1, -1, 2) pertence ao subespaço gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
(b) Qualquer vetor em R³ pode ser expresso como combinação linear dos vetores u = (-5, 3, 2) e v = (3, -1, 3).
Resolução:
(a) Falso. O vetor não pode ser expresso como combinação linear dos vetores dados.
(b) Falso. Dois vetores não podem gerar R³ porque R³ é um espaço de dimensão 3.
Conclusão da Questão 14: (a) F, (b) F.
Questão 15
Sejam W1 = [(1, 0, 0)] e W2 = [(1, 1, 0), (0, 1, 1)] subespaços de R³. Mostre que R³ = W1 ⊕ W2.
O símbolo de soma direta é ⊕
Dados dois subespaços W1 e W2 do espaço vetorial V, a soma direta entre W1 e W2 ocorre se:
A intersecção entre W1 e W2 é somente o vetor nulo.
Resolução:
Para mostrar que R³ = W1 ⊕ W2, precisamos verificar que:
- R³ = W1 + W2.
- W1 ∩ W2 = {(0, 0, 0)}.
Verificação:
- Qualquer vetor em R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em W1 e W2.
- A interseção é apenas o vetor nulo.
Conclusão da Questão 15: R³ é a soma direta de W1 e W2.
Questão 16
Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de R³ nos casos seguintes:
| **(a) W = {(x, y, z) em R³ | x + y + z = 0}.** |
| **(b) W = {(x, y, z) em R³ | x = y = z}.** |
Resolução:
(a) A condição x + y + z = 0 define um plano em R³, que tem dimensão 2. Uma base é {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}.
(b) A condição x = y = z define uma linha em R³. A base é {(1, 1, 1)}, com dimensão 1.
Conclusão da Questão 16: (a) Base: {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}, Dimensão: 2. (b) Base: {(1, 1, 1)}, Dimensão: 1.
Questão 17 - Gabarito
(a) W1 = [(1, 1, 0),(0, 0, 1)]
(b) W2 = [(−1, −1/2, 1)]
(c) W3 = [(−2, 1, 0),(3, 0, 1)]
(d) W1 ∩ W2 = [(0, 0, 0)]
(e) W2 + W3 = [(−1, −1/2, 1),(−2, 1, 0),(3, 0, 1)]
Questão 18 - Gabarito
(a) Uma base para W1 ∩ W2 é {(1/2, 1/2, 1)}. Logo, dim(W1 ∩ W2) = 1
(b) Uma base para W1 + W2 é {(1, 0, 1),(0, 1, 1),(1, 1, 0)}. Logo, dim(W1 + W2) = 3
(c) Sim. Justifique.
(d) Não. Justifique.
Questão 19 - Gabarito
(a) Uma base para W1 ∩ W2 é {(0, 0, 1, 1)}. Logo, dim(W1 ∩ W2) = 1
(b) Uma base para W1 + W2 é {(−1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 1),(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 0)}. Logo,
dim(W1 + W2) = 4
(c) Sim. Justifique.
(d) Não. Justifique.
Questão 20 - Gabarito
[(4, -1)β] = [1, 2]
Questão 21 - Gabarito
(a) Como dim R³ = 3, basta mostrar que os vetores são LI
(b) [5, -6, -1]
(c) v = (2, 1, 4)
Questão 22 - Gabarito
[5, -3, 0]
Questão 23 - Gabarito
α = {(1, 5),(0, 6)}
Questão 24 - Gabarito
[4, 2] e [2, 1]
Questão 25 - Gabarito
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Gabaritos das Questões Restantes
