Resolução Prova 2º Estágio - 2024.1
1º a) Provar que é subespaço
Para que um conjunto seja um subespaco, ele precisa satisfazer tres propriedades: conter o vetor nulo, ser fechado para adicao e ser fechado para multiplicacao escalar.
1. Vetor Nulo: (0, 0, 0) está presente em W, pois z = xy e 0 = 00
2. Fechamento Sob Adição:
- Sendo (x, y, z) e (a, b, c) elementos de W, temos:
- (x, y, z) = (x, y, xy)
- (a, b, c) = (a, b, ab)
- (x, y, xy) + (a, b, ab) = (x + a, y + b, xy + ab)
- Observe que xy + ab é diferente de (x + a) * (y + b). Logo, o fechamento aditivo não foi respeitado.
- (x, y, z) = (x, y, xy)
Conclusão: W não é subespaço.
1ª b) Provar que é uma base
Uma base é um conjunto Linearmente Independente que gera o espaço vetorial.
Sabemos que a dimensão de Pn é (n+1). Assim, a dimensão de P2 = 3.
Desse modo, como o conjunto apresentado tem 3 elementos, basta provarmos que é um conjunto LI.
1. Provar a Lineariedade:
- a(1 + t) + b(2t - t²) + c*3t² = 0
- a + at + b2t - bt² + c3t²
- (c - b)t² + (a + 2b)t + a = 0
2. Resolver o sistema:
- a = 0
- a + 2b = 0
- c - b = 0
Resolvendo este sistema, iremos encontrar a = 0, b = 0 e c = 0. Logo, o conjunto é LI.
Conclusão: O conjunto apresentado é uma base de P2.
2ª a) Dimensão de um Subespaço
1. Reescrever a Matriz dada como uma combinação linear:
- a[1 0];[1 0] + b[1 -1];[0 0] + c[0 2];[2 0]
O ponto e vírgula (;) separa as linhas das matrizes. É uma limitação do Markdown.
- Agora, temos que as 3 matrizes acima formam um conjunto gerador do subespaço dado.
- Para que este conjunto seja uma base, é preciso que além de gerador, ele seja LI.
- Provar a Lineariedade do conjunto acima é simples.
- Basta observar a posição dos zeros nas matrizes.
- Nenhuma das matrizes encontradas pode ser escrita como combinação linear das outras duas.
- Logo, o conjunto formado por essas 3 matrizes é uma base de U.
- Assim, dim(U) = 3.
2ª b) Combinação Linear
(-1, k, -7) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1)
(-1, k, -7) = (a, -3a, 2a) + (2b, 4b, -1b)
(-1, k, -7) = (a + 2b, -3a + 4b, 2a - 1b)
Temos o sistema:
- a + 2b = -1
- -3a + 4b = k
- 2a - 1b = -7
O valor de K será 13.
2ª c) Completar Base
Como o espaço R³ tem dimensão igual a 3, a base tem que ter 3 elementos.
Basta escolher um vetor que não possa ser escrito como combinação linear de W1 e W2.
Use o número zero para isso.
Assim, escolha um vetor do tipo: (0, 0, X), com X != 0.
O vetor que eu escolhi foi: (0, 0, 10).
O Conjunto {(1, -1, 0), (2, -1, 0), (0, 0, 10)} é uma base.
2ª d) Encontrar Base de um Subespaço
Sendo (x, y, z) um elemento qualquer de W1, temos:
(x, y, z) = (x, y, 2x + y)
Reescrevendo como combinação linear de ‘x’ e ‘y’:
(x, y, 2x + y) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 1)
Assim, o conjunto {(1, 0, 2), (0, 1, 1)} é gerador de W1. Para ser uma base, basta ser LI.
Observe a posição dos zeros nos dois vetores do conjunto. Estes vetores não são múltiplos entre si, logo são LI.
Assim, o conjunto {(1, 0, 2), (0, 1, 1)} é uma base de W1.
3ª Interseção de Subespaços
Para que um elemento pertença a W1 e a W2, é preciso que ele satisfaça as seguintes condições:
- (x, y, z) / z = 2x + y
- (a, a, 4a) / a é um real qualquer
Sendo x = a, y = a e z = 4a, temos:
4a = 2a + a
4a = 3a
4a - 3a = 0
a = 0
Assim, para que um elemento satisfaça as duas condições, é preciso que a = 0.
Então, temos:
(a, a, 4a) = (0, 0, 0)
Logo, o único elemento que faz parte da interseção entre W1 e W2 é: (0, 0, 0)
Conclusão: Interseção entre W1 e W2 é apenas o vetor nulo, {(0, 0, 0)}
3ª Dimensão da União de Subespaços
Agora, para encontrar a dimensão de W1 + W2, é preciso conhecer a seguinte fórmula:
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(interseção W1 e W2)
Já vimos que a interseção entre W1 e W2 é apenas o vetor nulo, logo a dimensão é 0.
Encontrando base para W1
Para encontrar a dimensão de W1, basta encontrar uma base para este subespaço.
Sendo (x, y, z) um elemento qualquer de W1, temos:
(x, y, z) = (x, y, 2x + y) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 1)
Como (1, 0, 2) e (0, 1, 1) não são múltiplos entre si, então formam uma base de W1. Logo, a dimensão de W1 é 2.
Encontrando base para W2
Sendo (a, a, 4a) um elemento qualquer de W2, temos:
(a, a, 4a) = a(1, 1, 4)
Logo, {(1, 1, 4)} é uma base de W2. Assim, dim(W2) = 1.
Logo, dim(W1 + W2) = 2 + 1 - 0 = 3.
4ª Matriz de Mudança de Base
1. Entender as bases e as coordenadas
Temos duas bases no espaço vetorial V de dimensão 3:
- A base β = {v1, v2, v3}
- A base 𝛾 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3}
2. Interpretar a matriz de mudança de base
Observação: O GPT interpretou a matriz de mudança de base de forma invertida.
Veja que a questão da uma matriz de mudança de base de Beta para Gama.
A IA interpretou como sendo uma matriz de Gama para Beta.
Porém, a lógica segue a mesma. O importante é entender o processo.
Na questão, para encontrar [u1] (que está em base Beta) na sua versão em base Gama, basta multiplicar [u1] pela matriz dada.
A inversão será para encontrar [u2].
