Limites de Sequências
Os limites deste tópico estão tendendo ao infinito.
Definição
O limite de uma sequência é o valor para o qual os termos da sequência tendem à medida que n (a posição do termo) cresce indefinidamente.
Matematicamente, dizemos que:
lim (n -> infinito) an = L
Se não existe tal número L, dizemos que a sequência diverge.
Propriedades dos Limites
1. Limite de uma Soma
Se {an} e {bn} são duas sequências que possuem limites finitos, então o limite da soma das duas sequências é igual à soma dos limites.
2. Limite de um Produto
Se {an} e {bn} têm limites finitos, o limite do produto das duas sequências é o produto dos limites.
3. Limite de uma Divisão
Se {an} e {bn} têm limites finitos e lim (n -> infinito) bn ≠ 0, o limite da divisão das sequências é a divisão dos limites.
4. Limite de uma Constante
Se c é uma constante, o limite de uma constante é a própria constante.
5. Limite de uma Sequência Multiplicada por uma Constante
Se {an} é uma sequência com limite finito e c é uma constante, então o limite da sequência multiplicada por c é c vezes o limite da sequência.
6. Limite de uma Constante sobre n
Se {an} = K/n, então o limite será 0.
7. Limite Exponencial
Se {an} = k^n, então o limite será infinito.
Como Calcular Limites de Sequências
1. Dividir pelos Termos de Maior Grau
Para sequências polinomiais ou racionais, uma técnica comum é dividir todos os termos pelo maior grau de n. Isso facilita a identificação do comportamento assintótico da sequência.
Considere a sequência an = (3n^2 + 2) / (n^2 + 1). Dividindo o numerador e o denominador por n^2, obtemos:
an = 3/1
lim (n -> infinito) an = 3 / 1 = 3
2. Utilizar as Propriedades dos Limites
Como discutido anteriormente, as propriedades dos limites podem ser usadas para simplificar o cálculo.