Exemplos - Séries Geométricas
Exercício 01
1º Passo - Identificar se a Série é convergente
Primeiro, vamos identificar se a série acima é convergente.
A razão é 1/3, como |1/3| < 1, então a série é convergente.
2º Passo - Limite Inferior da Série
Agora, observe que a séria acima não começa do zero, pois o n = 2 (limite inferior).
Desse modo, a série não está considerando a soma do termo de índice 1 e nem o termo de índice 0.
Assim, precisamos que o expoente seja diminuído em 2 unidades.
Logo, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por 3⁻². Veja:
Lembre que quando temos um expoente negativo, basta inverter a fração.
Assim, o 3⁻² fica sendo 1/9.
3º Passo - Novo formato da Série
A nova série é:
4º Passo - Identificar o primeiro termo e a razão
5º Passo - Calcular o resultado
Exercício 02
A série acima está em um formato complexo. Logo, não vou começar identificando se é convergente.
É melhor começar mudando o formato da série.
1º Passo - Limite Inferior e Novo formato da Série
Observe que, o limite inferiro novamente é n = 2.
Logo, é preciso que o expoente leve isso em consideração.
Usarei a técnica da mudança de variável.
Chamo uma variável m:
Realizando a técnica de mudança de variável, a nossa série fica com o formato acima.
Agora, vamos usar algumas das propriedades das séries para simplificar.
Isolando as constantes, ficamos com:
2º Passo - Identificar se as Séries Convergem
Observe que a razão da primeira é:
A razão da segunda é:
Logo, ambas as séries convergem.