Séries Alternadas
Definição
Séries Alternadas são aquelas em que os termos alternam entre positivo e negativo. A forma geral de uma série alternada pode ser representada da seguinte maneira:
∑ (-1)^n * an)
onde a_n é uma sequência de termos positivos e (-1)^n é o fator que alterna o sinal de cada termo da série.
Critérios para Convergência de Séries Alternadas
Para verificar se uma série alternada converge, podemos utilizar o Teste das Séries Alternadas (também chamado de Critério de Leibniz). Esse teste estabelece três condições que devem ser verificadas:
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a_n deve ser maior que zero para todo n: Isso significa que a sequência de termos sem considerar o sinal alternado (ou seja, apenas os valores absolutos) deve ser positiva.
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a_n deve ser uma sequência decrescente: A sequência de termos deve estar diminuindo conforme n aumenta. Ou seja, a_n+1 < a_n para todo n suficientemente grande.
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Limite de a_n deve tender a zero quando n tende ao infinito: A sequência de termos a_n deve ter como limite o valor zero. Formalmente, isso é expresso como: lim (n -> infinito) a_n = 0.
Se as três condições acima forem satisfeitas, a série alternada converge.
Exemplo de Aplicação
Vamos aplicar o Critério de Leibniz em uma série alternada para determinar sua convergência.
Exemplo: ∑ (-1)^n * 1/n)
- a_n maior que zero:
- Aqui, a_n = 1/n. Como 1/n é positivo para todo n, a primeira condição é satisfeita.
- a_n decrescente:
- A sequência 1/n é decrescente conforme n aumenta, pois o denominador n está aumentando e, consequentemente, o valor de 1/n está diminuindo. Logo, a segunda condição também é satisfeita.
- Limite de a_n tendendo a zero:
- lim (n -> infinito) 1/n = 0. Isso significa que a terceira condição também é satisfeita.
Portanto, a série alternada converge.
Convergência Condicional e Convergência Absoluta
Uma série alternada pode convergir condicionalmente ou convergir absolutamente.
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Convergência Condicional: Ocorre quando a série alternada converge, mas a série formada pelos valores absolutos dos termos não converge. Ou seja, a série converge por alternar sinais, mas se os termos fossem todos positivos, a série seria divergente.
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Convergência Absoluta: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também convergir, então a série alternada converge absolutamente. Para verificar isso, analisamos a série formada pelos módulos dos termos da série original.
Teste para Convergência Absoluta
Para verificar a convergência absoluta, aplicamos os testes tradicionais de convergência, como o Teste da Comparação, o Teste da Comparação Limite, ou o Teste da Razão.