Integração Trigonométrica
Integrais com Potências de Senos
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Seno elevado a um inteiro par
Para o seno elevado a um inteiro par, basta usar a relação abaixo:
seno²x = (1 - cos2x) / 2
Seno elevado a um inteiro ímpar
Para o seno elevado a um inteiro ímpar, use a propriedade de multiplicação de potências de mesma base.
Com essa propriedade, você obtém um seno elevado a um inteiro par e outro elevado a 1.
O seno que está elevado ao inteiro par, você vai substituir pela relação fundamental trigonométrica.
Agora, basta usar substituição simples, o seno que ficou sobrando fará parte do du.
Integrais com Potências de Cossenos
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Cosseno elevado a um inteiro par
Para o cosseno elevado a um inteiro par, basta usar a relação abaixo:
cos²x = (1 + cos2x)/2
Cosseno elevado a um inteiro ímpar
Para o cosseno elevado a um inteiro ímpar, use a propriedade de multiplicação de potências de mesma base.
Com essa propriedade, você obtém um cosseno elevado a um inteiro par e outro elevado a 1.
O cosseno que está elevado ao inteiro par, você vai substituir pela relação fundamental trigonométrica.
Agora, basta usar substituição simples, o cosseno que ficou sobrando fará parte do du.
Produto de Funções Trigonométricas
Para integrais do tipo sen^n * cosseno^m, observe os expoentes de ambas as funções trigonométricas.
Caso ambos forem pares, use alguma das relações abaixo:
cos²x = (1 + cos2x)/2
sen²x = (1 - cos2x)/2
Caso ao menos um dos expoentes for um inteiro ímpar, separe a função cujo expoente é impar em um produto de mesma base.
Exemplo: sen⁵x = sen⁴x * sen x
A parte com expoente ímpar será usada para compor o du na substituição simples.
A parte com expoente par deve ser substituída pela relação fundamental trigonométrica, que está abaixo.
sen²x + cos²x = 1
Após usar esta relação, faça a distributiva e utilize a integração por substituição simples.
O u será a função que você não separou em um produto de mesma base. No exemplo acima, separamos o seno.
Então o u seria o cosseno.
Seno(Mx) * Cosseno(Nx)
Integral do tipo - Sen(Mx) * Cos(Nx)
Integral do tipo - Sen(Mx) * Sen(Nx)
Integral do tipo Cos(Mx) * Cos(Nx)
Secante e Tangente
A principal relação para o cálculo de integrais envolvendo secante e tangente é:
tg²x + 1 = sec²x
Com a relação acima, é possível resolver qualquer integral que envolva tangente e secante.
Lembre que a derivada da tangente é secante ao quadrado.
A derivada da secante é secante * tangente.
Além disso, saiba que a tangente é a divisão entre o seno e cosseno (seno/cosseno).
A secante é o inverso do cosseno (1/cosseno).