Volume por Fatiamento
Passo a Passo
- Esboce o sólido e uma Seção Transversal que corte o sólido;
- Encontre a fórmula da área da Seção Transversal;
- Encontre os limites de integração;
- Monte a integral.
Macetes
1. Fórmula Geral da Circunferência
A fórmula geral da circunferência é X² + Y² = R². Sendo R o raio do sólido dado no enunciado, o X e o Y sendo os pontos no plano cartesiano.
Use esta informação sempre que a seção transversal for uma circunferência e você não souber o raio dessa seção.
Lembre que a área da circunferência é πr², isole o Y da fórmula geral e terá uma fórmula para o raio da seção.
Teremos: Y = sqrt(R² - X²)
2. Cone
Sempre que tiver um cone, a seção transversal será uma círcunferência.
3. Pirâmide de Base Quadrada ou Retangular
A seção transversal será sempre um quadrado (ou retângulo).
4. Esfera, semi-esfera ou casca esférica
A seção transversal será uma círcunferência.
5. Sólido de Revolução
Quando o sólido é obtido pela rotação de uma função em torno de um eixo, a seção transversal é sempre uma círcunferência. O raio dessa círcunferência é dado pelo valor da função que foi rotacionada.
1º Exemplo
Encontre a integral que calcula o volume de uma pirámide de 3 metros de altura, com base quadrada de lado 3.
A pirâmide é cortada por uma seção transversal que é um quadrado de lado x.
Pelo enunciado, sabemos que a seção transversal é um quadrado de lado X. Logo, a fórmula da área dessa seção é X².
Como a pirâmide tem 3 metros de altura, podemos desenhá-la no plano cartesiano do X = 0 até o X = 3.
Sendo assim, os limites de integração são a = 0 e b = 3.
Logo, a integral que resulta no volume desta pirâmide é:
2º Exemplo
O sólido está situado entre os planos perpendiculares X = 0 e X = 4.
As seções transversais que cortam este sólido são quadrado cujos lados se estendem de Y = -√x até Y = √x
Encontre a integral que resulta no volume deste sólido.
O esboço do sólido é o seguinte:
As seções transversais são quadrados cujos lados são:
Logo, a integral que calcula o volume do sólido acima é:
3º Exemplo
O sólido está entre os planos X = -1 e X = 1.
As Seções Transversais que cortam este sólido têm diametros que vão de Y = X² até Y = 2 - X².
Esboce o sólido:
O que foi feito acima?
Foi desenhada a curva Y = X² e a curva Y = 2 - X².
As curvas se intesectam nos pontos X = -1 e X = 1.
Como a curva Y = 2 - X² é quem está no topo, o diâmetro da seção transversal é dado por:
D = (2 - X²) - (X²) = 2 - 2X²
Logo, o raio da seção transversal é 1 - X².
Sendo assim, a área da seção transversal é dada por πR² = π(1 - x²)²
Portanto, a fórmula que calcula o volume do sólido acima é:
4º Exemplo
O sólido está situado no plano carteasiano entre X = -1 e X = 1.
As seções transversais são quadrados cujas bases se estendem do semi-círculo Y = -√(1 - x²) até Y = √(1 - x²).
Esboço do sólido:
O que foi feito acima?
Foi desenhado ambos os semi-círculos, formando uma circunferência situada entre X = -1 e X = 1.
Em seguida, foi encontrado o lado do quadrado que corta a circunferência.
Agora, sabendo que a área do quadrado é dada por lado², temos que a área é:
Sendo assim, a integral que calcula o volume do sólido deste exemplo é:
5º Exemplo
O sólido está situado no plano carteasiano entre X = -1 e X = 1.
As seções transversais são quadrados cujas diagonais se estendem do semi-círculo Y = Raiz de -(1 - x²) até Y = (1 - x²).
Observe que é quase o mesmo problema do 4º exemplo.
Porém, agora o problema nos diz que as diagonais dos quadrados que se estendem no plano, não os lados.
Assim, precisamos saber que Diagonal² = 2 * Lado².
Logo, o valor abaixo, que antes era o lado do quadrado, agora é a diagonal do mesmo.
Sabendo disso, você terá condições de resolver o problema 5