Cálculo do Volume - Método do Disco
Sólidos de Revolução
Um sólido gerado pela rotação de uma curva em torno de um eixo é chamado de Sólido de Revolução.
A seção transversal que corta um sólido de revolução será sempre um disco.
Essa é a vantagem de usar esses sólidos, a seção transversal é conhecida.
A área de um disco é calculada da mesma forma que a circunferência: πr²
Passo a Passo
- Desenhar o Plano Cartesiano e a curva dada no enunciado;
- Saber se a rotação é em torno do eixo X, Y, de uma reta horizontal ou vertical;
- Determinar o Raio do Disco;
- Identificar os Limites de Integração;
- Montar a Integral.
Caso o sólido seja rotacionado em torno do eixo X, o raio do disco será a própria função rotacionada, no formato r(x);
Caso o sólido seja rotacionado em torno do eixo Y, o raio do disco será a própria função rotacionada, no formato r(y);
Caso o sólido seja rotacionado em torno de uma reta L vertical, o raio do disco será: L - r(y);
Caso o sólido seja ratocacionado em torno de uma rela L horizontal, o raio do disco será: r(x) - L;
Se o sólido for girado em torno de um eixo vertical (Y ou uma reta L qualquer), os limites de integração estarão na vertical;
Se o sólido for girado em torno de um eixo horizontal (X ou uma reta L qualquer), os limites de integração estarão na horizontal;
Não é preciso desenhar o sólido em si, mas sim desenhar o gráfico com a curva e os limites de integração.
Exemplo - Curva rotacionada em torno do eixo X
A região entre a curva y = √x, de x = 0 até x = 4, é girada em torno do eixo x, gerando um sólido.
Determine a integral que calcula o volume deste sólido.
Primeiramente, monte o gráfico.
Como a função foi girada em torno do eixo X = 0, então o raio será a própria função √x.
A área do disco será π * (√x)².
Os limites de integração estão bem definidos, x = 0 até x = 4.
Logo, a integral que calcula o volume do sólido acima é:
Exemplo - Curva rotacionada em torno do eixo Y
Determine a integral que calcula o volume do seguinte sólido:
Sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre Y = 1 e Y = 4, e a curva X = 2/Y.
Observe que desta vez, a rotação é em torno do eixo Y. Neste caso, o raio do disco deve ser em função de Y.
A questão já nos deu a função em torno de Y.
Assim, identificamos o raio:
O raio será a função (curva) que foi rotacionada.
Porém, lembre que a função deve estar em função de Y, algo que já nos foi dado no enunciado.
Assim, o raio é 2/Y.
O limite de integração é Y = 1 e Y = 4.
Assim, temos o seguinte gráfico e a seguinte integral:
Exemplo - Curva rotacionada em torno de uma reta vertical
Parábola X = Y² + 1 rotacionada em torno da reta X = 3. Determine a integral que calcula o vólume do sólido.
Neste caso, temos uma reta vertical X = 3.
Já que a rotação é em torno de uma reta vertical, a função deve estar em razão do y.
Quando a rotação é em torno de uma reta vertical, o valor da reta (no caso, X = 3), deve ser subtraído pela função dada.
Fazendo isso, teremos o raio do disco.
Assim, temos que o raio deste exemplo é: 3 - (Y² + 1)
Observe que a função dada já está em razão do Y, logo só foi preciso realizar a subtração do valor da reta vertical.
Para encontrar os limites de integração, como não foi nos dado no enunciado, basta fazer o seguinte:
Substitua na função dada (X = Y² + 1), o valor da reta vertical (X = 3).
3 = Y² + 1
Y = +√2 ou -√2
Portanto, temos a seguinte integral:
Exemplo - Curva rotacionada em torno de uma reta horizontal
Determine a integral que calcula o volume do sólido obtido com a rotação da curva y = √x, em torno da reta y = 1 e x = 4.
Observe que, dessa vez, a rotação é em torno da reta horizontal Y = 1.
Sabendo que a função dada é √x, qual o valor de X para Y ser 1?
É 1, pois √1 = 1.
Desse modo, temos o seguinte gráfico:
O raio do disco será a própria função, subtraída de 1 unidade, pois o sólido começa a girar em X = 1.
Logo, o raio será √x - 1
Assim, a área do disco será dada por: π * (√x - 1)²
Os limites de integração serão: x = 1 e x = 4.
Logo, a integral que calcula o volume do sólido é: