Método do Anel - Cálculo do Volume de Sólidos de Rev.

Quando usar?

Método do Anel

Geralmente usa duas curvas: O método do anel é usado quando duas curvas definem a região a ser girada em torno de um eixo.

Características:

Há uma curva interna e uma curva externa em relação ao eixo de rotação.
A região entre as duas curvas cria um anel quando girada, resultando em um sólido com um “furo” ou espaço vazio no centro.
O volume é calculado subtraindo o volume formado pela curva interna do volume formado pela curva externa.

Método do Disco: Uma curva delimitando a região (volume sólido sem buraco).
Método do Anel: Duas curvas delimitando a região (volume com um buraco no centro).

Passo a Passo

Identificar as funções que serão rotacionadas;
Identificar qual o eixo de rotação;
Verificar qual função será o raio externo (é a que está mais distante do eixo de rotação);
Verificar qual função será o raio interno (é a que está mais próxima do eixo de rotação);
Montar a fórmula do volume (V = π(R² - r²)), sendo R o raio externo e r o raio interno;
Montar a integral;

Exemplo 1

A região delimitada pela curva g(x) = X² + 1 e pela reta f(x) = -X + 3 gira em torno do eixo X, gerando um sólido.
Determine a integral que calcula o volume deste sólido.

Primeiro, vamos montar o gráfico:

Agora, identifique os limites de integração:
Basta fazer g(x) = f(x)
X² + 1 = -X + 3
Iremos encontrar X = -2 e X = 1

Agora, identifique o raio externo e o raio interno:
O raio externo é a função que está mais distante do eixo de rotação, que nesta questão é o X.
Como podemos ver no gráfico, o raio externo é -X + 3;
O raio interno é X² + 1;

Assim, a integral que calcula o volume do sólido é:

Exemplo 2

A região compreendida entre a parábola f(x) = X² e g(x) = 2X no 1º quadrante gira em torno do eixo Y.
Determine o volume do sólido.

Montando o gráfico:

Encontrar qual o raio externo e o interno:

Observe que, dessa vez, a rotação é em torno do eixo Y, logo as funções devem estar em função do Y.
Na imagem abaixo, é isso que está sendo feito. Pega a função que foi dada e isola o Y.

Limites de Integração:

Montagem da Integral:

Aventuras π