Método das Cascas Cilíndricas
Macete para Identificar o Método das Cascas Cilíndricas:
1. Verifique o Eixo de Rotação e a Orientação da Função:
- Se o eixo de rotação é perpendicular ao eixo da função dada no enunciado, então considere usar cascas cilíndricas.
- Por exemplo, se a rotação é em torno do eixo Y e a função é dada em razão do 𝑥 como 𝑦 = 𝑓(𝑥),
considere cascas cilíndricas.
2. Observe a facilidade de determinação do raio e da altura da casca cilíndrica:
- Raio: A distância da região a ser girada ao eixo de rotação.
- Altura: A função que descreve a borda externa da região.
Passo a Passo para o Método das Cascas Cilíndricas
1. Determine o Eixo de Rotação:
- Verifique em torno de qual eixo (eixo X, eixo Y, ou outra linha paralela a esses eixos) a região será rotacionada.
2. Identifique a Função que será Rotacionada:
- Determine a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ou 𝑥 = 𝑔(𝑦) que define a região a ser rotacionada.
3. Determine os Limites de Integração:
- Identifique os limites da região de integração.
- Esses limites podem ser pontos de interseção ou limites dados no problema.
4. Encontre a fórmula para o Raio da Casca:
- O raio será o eixo de rotação menos o ponto inicial da rotação.
- Exemplo: Se o eixo de rotação é o X e a rotação começa de X = 0, então o raio é X - 0 = X.
5. Encontre a fórmula para a Altura da Casca:
- O valor da função que está sendo rotacionada.
6. Monte o Volume da Casca:
- Volume da Casca = 2π⋅(raio da casca)⋅(altura da casca)
7. Monte a Integral:
- V = ∫ 2π⋅(raio da casca)⋅(altura da casca) dx, de
aatéb(limites de integração)
Exemplos
Problema: Determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y da região limitada pela curva y = x², de x = 0 até x = 2.
Justificativa:
Quando a rotação é em torno do eixo (y), e a região a ser rotacionada é descrita em termos de (x) (como (y = x^2) e (y = 2 - x)), o método das cascas cilíndricas se torna conveniente.